domingo, 26 de junio de 2016

Matematicas 4



ÁREA BAJO UNA CURVA 

 La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto deintegral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.


INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma. 


CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 

En cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con una constante, laconstante de integración Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y Fes una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) + C, siendo C, una constante arbitraria.



FORMULAS DE INTEGRACIÓN




REGLA DE LA CADENA PARA ANTIDERIVACION

Sea $g$ una función derivable en un intervalo $I$.
Sea $f$ una función definida en $I\;\;\mbox{y}\;\;H$ una antiderivada de $f\;\;\mbox{en}\;\;I$.
Entonces: $ds{\int f[g(x)]\cdot g'(x)dx=H[g(x)]+C}$
Note que $D_{x}[H(g(x))+C]=H'(g(x))\cdot g'(x)+0=H'(g(x))\cdot g'(x)$, como $H$ es una primitiva de $f$ entonces $H'(x)=f(x)$ por lo que:
$H'[g(x)]\cdot g'(x)=f[g(x)]\cdot g'(x)$.
Luego tenemos que:

  1. $ds{\int [g(x)]^{n}\cdot g'(x)dx=\displaystyle {\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1}+C,\;\;n\neq -1}}$. ¡Compruébelo!
  2. $ds{\int x^{n}dx=\displaystyle {\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\;x\neq 1}}$¡Compruébelo!
    El caso en que $n=-1$ será estudiado luego


INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

INTEGRALES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS


INTEGRAL DEFINIDA 

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.


DEFINICIÓN DE SUMATORIA 

El sumatorio o sumatoria (también conocido como operación de suma, notación sigma o símbolo suma,), es una notación matemática que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de paso al límite. Se expresa con la letra griega sigma mayúscula(  , Σ).


PROPIEDADES DE LA SUMATORIA 

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.




TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO \

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.



VOLUMEN DE ROTACIÓN 

 Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del planoalrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.




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