Matemáticas 1

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para losnúmeros naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de losplanetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a lasoperaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a lateoría de conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 

Conjunto es la reunión de conjuntos diferenciales entre sí que se denominan elemento de conjunto. Se pueden diferenciar de dos formas: por extensión si se presenta la lista de uno o de todos los elementos que lo conforman, ejemplo: C={amarillo, azul, rojo} los colores de la bandera de colombia. Si se representa la consistencia a atributo común de los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo: {x/x son los colores de la bandera colombiana} En este caso se utiliza la representación x/x para referirse a "x tal que x". La x representa cual quiera de las características.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Los conjuntos numéricos son construcciones matemáticas que definen diversos tipos de números y que guardan una serie de propiedades estructurales. En álgebra abstracta y análisis matemático un sistema numérico se caracteriza por una

• Estructura algebraica, usualmente un anillo conmutativo o cuerpo matemático (en el caso no conmutativo son un álgebra sobre un cuerpo y en el caso de los números naturales sólo un monoide conmutativo).
• Estructura de orden, usualmente un conjunto ordenado, en el caso de los números naturales, enteros, racionales y reales (y sus extensiones trascentes) se trata de conjuntos totalmente ordenados, aunque los números complejos e hipercomplejos sólo son conjuntos parcialmente ordenados. Los reales además son un conjunto bien ordenado y con un orden denso
• Estructura topológica, los conjuntos numéricos numerables usualmente son conjuntos disconexos, sobre los que se considera la topología discreta, mientras que sobre los conjuntos no numerables se considera una topología que los hace adecuados para el análisis matemático.

Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones trascentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la teoría de modelos durante el siglo XX, se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja

INTERVALOS 

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)) es un subconjunto ${\displaystyle I}$ ℝ. A tal subconjunto se le exige que para cualesquiera ${\displaystyle u,w\in I}$ y todo ${\displaystyle v\in R}$ con ${\displaystyle u<v<w}$ se satisfaga que ${\displaystyle v\in I}$. 
Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

ECUACIONES E INECUACIONES 

En matemáticas, hay conceptos que todos hemos tenido que estudiar obligatoriamente, con independencia de nuestro lugar de residencia o de nuestra escuela. Dos de esos conceptos tan esenciales son las ecuaciones y las inecuaciones. ¿Pero qué son? ¿Qué diferencias hay entre ellas?

Antes de empezar, es bueno decir que todo lo que vamos a hablar es referente a un plano, es decir, un eje de coordenadas compuesto por el eje x y el eje y. El motivo es que así simplificaremos mucho la explicación y la notación.

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que incluyen una igualdad (=). Como seguro que recordáis, las expresiones algebraicas son aquellas que se componen de datos (números) e incógnitas (que puede ser x, ó y, ó…).

Las ecuaciones incluyen la igualdad mencionada antes porque es una herramienta que sirve para comparar

VALOR ABSOLUTO

En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. 

SUCESIÓN 

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ₊∪{0} y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominadotérmino (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

TERMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN 

Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe a_n.

• Hay sucesiones cuyo término generales una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n.
  
• En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Unarelación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en función de los anteriores.

TIPOS DE SUCESIONES

SUCESIONES MONOTONAS CRECIENTES 

Se dice que una sucesión de números reales es monótona creciente si cada término es menor o igual que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor o, a lo sumo, son iguales.

Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van subiendo.

a

n

£

a

n+1

SUCESIONES MONOTONAS DECRECIENTES 

Se dice que una sucesión de números reales es monótona decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente. Es decir los términos van disminuyendo su valor o, a lo sumo, son iguales.

Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van bajando.

a

n

³

a

n+1

SUCESIONES CONSTANTES 

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales. Una sucesión constante es a la vez monótona creciente y monótona decreciente.

a

n

=

a

n+1

SUCESIONES ACOSTADAS

Una sucesión que está acotada superiormente e inferiormente se dice que está acotada. En este caso existe un número k tal que -k < a_n    < k, es decir, |a_n  | < k.

 Observando estas definiciones es claro que una sucesión que diverge a +¥ no puede estar acotada superiormente, y una sucesión que diverge a -¥ no está acotada inferiormente.

PROGRESIONES ARITMÉTICA

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es unaconstante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».

Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usasucesión cuando hay una cantidad infinita de términos

Así, ${\displaystyle 5,15,45,135,405,...\,}$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo ${\displaystyle a_{n}\,}$ el término en cuestión, ${\displaystyle a_{1}\,}$ el primer término y ${\displaystyle r}$, la razón:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{(n-1)}\,}$

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

${\displaystyle a_{4}=5\cdot 3^{4-1}=5\cdot 3^{3}=135}$

Para obtener la razón en una progresión geométrica lo más sencillo es dividir un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$

FUNCIONES REALES 

Una función real ${\displaystyle f\,}$ es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales denotado como ${\displaystyle \mathbb {R} }$, es decir, es una función:

${\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {R} \rightarrow S'\subseteq \mathbb {R} }$

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

 Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango.

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.